Un peu d’économie
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2. Analyse microéconomique du comportement du consommateur : la demande individuelle.

mardi 5 janvier 2010, par Simonnet Jean-Paul

Le consommateur connait ses préférences, le revenu dont il dispose et les prix des différents produits qui sont proposés. Les biens sont homogènes ce qui veut dire que le consommateur ne distingue pas une unité d’un bien d’une autre unité de ce même bien (le bien n’a pas de caractéristiques différentes d’une unité à l’autre). Le consommateur est incapable de modifier à lui seul les prix ou le revenu nominal dont il dispose.

Intuitivement on peut penser que toutes choses égales par ailleurs si le prix d’un produit baisse le consommateur en achètera davantage. Cette liaison entre quantité demandée et prix du produit est généralement appelée [marron]fonction de demande[/marron]. De la même manière si le revenu disponible augmente, la consommation des différents produits va augmenter.
Mais comme souvent, l’intuition ne délivre qu’une partie de ce qui va réellement se passer et parfois elle conduit à des conclusions fausses.

L’analyse économique du comportement du consommateur à partir des concepts présentés dans cet autre article permet de préciser les effets des variations de prix et de revenu sur la consommation en donnant les indications indispensables sur la forme de la fonction de demande du consommateur [1].

Le plus souvent, le raisonnement est construit sur un exemple appliqué à deux biens, mais la généralisation à un ensemble de n biens ne pose pas de problème.

Le choix d’un panier de consommation

Le consommateur dispose du revenu R, il peut consommer deux biens (X et Y), dont les prix sont respectivement px et py.

Sa contrainte budgétaire est représentée par le triangle vert. Ses préférences sont décrites par les courbes d’indifférence U1, U2, U3...
Tous les paniers de consommation possibles financièrement sont dans le triangle vert et on voit immédiatement que celui qui donne l’utilité totale la plus grande est le panier E composé d’une quantité x* du bien X et d’une quantité y* du bien Y.
Ce panier est possible (il est dans le triangle) et il est situé sur la courbe d’indifférence la plus élevée ayant encore un point dans ce triangle.
Pour ce panier E, les coefficients directeurs de la courbe d’indifférence et de la contrainte budgétaire sont égaux puisque la contrainte est tangente à la courbe. Nous savons que le coefficient directeur de la contrainte est égal au rapport des prix et que celui de la courbe d’indifférence est égal au taux marginal de substitution, donc au point E :

- (δU / δy) / (δU / δx) = - py / px

soit (δU / δy) / (δU / δx) = py / px

Le panier donnant la plus grande utilité est celui composé des quantités des biens X et Y telles que le rapport des prix de X à Y soit égal au rapport des utilités marginales de X et de Y.

Cela revient à dire que le consommateur atteint la meilleure composition du panier quand le taux auquel il veut échanger les deux biens l’un contre l’autre (la substitution) est égal au taux auquel il peut concrètement les échanger sur le marché (le rapport des prix).

Pour comprendre comment le consommateur parvient à cette solution imaginons que consommer un unité supplémentaire du bien Y procure une utilité 3 fois plus grande que la consommation d’une unité supplémentaire du bien X et qu’une unité du bien Y coûte 2 fois plus qu’une unité du bien X. Dans ce cas le consommateur va réduire sa consommation de bien X et augmenter celle du bien Y. Comme l’utilité marginale des biens est supposée être décroissante quand leur consommation augmente, une plus grande consommation du bien Y réduit l’utilité marginale et une plus faible consommation du bien X augmente l’utilité marginale qu’elle procure. Le rapport des utilités marginales diminue et se rapproche du rapport des prix des deux biens. Lorsque les deux rapports sont égaux, la substitution entre les deux biens n’apportent plus aucun avantage [2].

Ce qui précède ne constitue pas une démonstration rigoureuse mais on peut très facilement retrouver ce résultat en traitant le problème comme la résolution d’une optimisation sous contrainte. Il s’agit de chercher quelles quantités de X et de Y procurent l’utilité la plus grande possible sous la contrainte d’un revenu donné pour des prix donnés de X et de Y en supposant que tout le revenu est dépensé [3].
Le programme s’écrit :
Max U(x,y)
Sous R = pxx + pyy

En utilisant la méthode de Lagrange le Lagrangien s’écrit :
L(x, y, λ) = U(x,y) + λ(R - px x - py y)
où λ est le multiplicateur de Lagrange.

Les conditions du premier ordre sont :
(1) δL(x, y, λ) / δx = (δU / δx) - λpx = 0
(2) δL(x, y, λ) / δy = (δU / δy) - λpy = 0
(3) δL(x, y, λ) / δλ = R - px x - py y = 0

(1) et (2) donnent le résultat déjà trouvé graphiquement :
(δU / δy) / (δU / δy) = py / px
la troisième condition assure que tout le revenu est bien dépensé.

Pour être certain d’avoir un maximum il faut encore que les conditions du second ordre soient vérifiées ce qui est le cas si les prix sont positifs (ce qui est toujours vrai). [4]

Dans la présentation précédente le raisonnement a été conduit en cherchant le panier de consommation qui maximisait l’utilité procurée en fonction du revenu et des prix des biens X et Y. Les paniers donnant la plus grande utilité sont fonction des préférences du consommateur, de son revenu et des prix des produits. Il y a donc une combinaison optimale des quantités x* et y* des biens X et Y pour chaque niveau de revenu et pour chaque prix de x et de y. Construire des fonctions de demande du bien X c’est associer chaque solution x* (la quantité de ce bien qui donne l’utilité optimale) à chaque prix de ce bien (le revenu et le prix de l’autre bien restant inchangés) ou à chaque niveau de revenu (les prix des deux biens restant inchangés).

La fonction de demande du bien X par rapport au revenu s’écrit :
x = x(px*, py*, R)
expression dans laquelle le revenu est variable, les prix des deux biens sont des paramètres.
La fonction de demande du bien X par rapport au prix de x s’écrit :
x = x(px, py*, R*)
expression dans laquelle le prix du bien X est variable, le prix du bien Y et le revenu sont des paramètres.

Demande marshallienne et demande hicksienne

La fonction de demande qui se déduit de cette manière de poser le problème est la [marron]demande marshallienne[/marron] par référence à Alfred Marshall.

On peut cependant poser le même problème d’optimation sous contrainte d’une autre manière comme John Richard Hicks.
La [marron]demande hicksienne[/marron] se déduit du programme suivant : quelles sont les combinaisons des biens X et Y qui minimisent le revenu dépensé pour obtenir un niveau de satisfaction donné pour des prix des biens X et Y donnés. On cherche donc graphiquement la droite de budget qui est la plus basse possible tout en conservant un point en commun avec la courbe d’indifférence de référence. La solution est donnée pour R* correspondant à x* et y*, point de tangence de la courbe d’indifférence et de la droite de budget (les différentes droites de budget tracées sont parallèles parce que les prix ne changent pas).
Il suffit ensuite de faire varier le niveau de la contrainte portant sur l’utilité (déplacement de la courbe d’indifférence vers le haut ou le bas) pour obtenir d’autres combinaisons des biens X et Y.

Le programme s’écrit :
Min R = pxx + pyy
Sous U(x,y) = U*

Les solutions x et y de ce programme sont données par la même relation que dans le cas de la [marron]demande marshallienne[/marron].

Le panier minimisant le revenu dépensé pour une utilité totale donnée est celui composé des quantités des biens X et Y telles que le rapport des prix de X à Y soit égal au rapport des utilités marginales de X et de Y.

[marron]Demande marshallienne[/marron] : x = x(px, py, R) ↔ le consommateur ajuste sa satisfaction (pour qu’elle soit maximale) aux changements de prix ou/et de revenu.


[marron]Demande hicksienne[/marron] : x = x(px, py, U) ↔ le consommateur ajuste le revenu dépensé (pour qu’il soit minimal) aux variations des prix et de la satisfaction procurée par la consommation. Il compense une augmentation du prix du bien X par une augmentation du revenu dépensé pour conserver la même satisfaction. C’est pour cette raison que la demande hicksienne est aussi appelée [marron]demande compensée[/marron]

 :-O [fond jaune]Remarque[/fond jaune] : la représentation habituelle d’une fonction de demande pose le prix du produit en abscisses et la quantité demandée du produit en ordonnées. Cela traduit le fait que ce sont les variations du prix qui modifient le comportement de demande du consommateur. La variable déterminante est le prix, la variable déterminée est la quantité demandée. Si mathématiquement la relation inverse est parfaitement justifiée il est plus "naturel" d’adopter cette représentation. Pourtant, à la suite de ce qu’on peut qualifier comme une "coquille graphique", Alfred Marshall a représenté la fonction de demande en portant le prix en ordonnées et la quantité en abscisses, cette représentation est depuis désignée par l’expression [marron]"marshallienne"[/marron]. On prendra garde de ne pas confondre un système d’axes "marshallien" et une demande "marshallienne". Dans un système d’axes "marshallien" la demande représentée est la [marron]demande inverse[/marron].

La demande et le revenu

Le panier choisi par le consommateur dépend du revenu. Que ce passe-t-il lorsque celui-ci augmente ?
Sur ce graphique le revenu disponible passe de R1 à R1 puis R3. Les prix px et py ne changent pas (la pente de la droite de budget est conservée).
Le choix du consommateur se modifie passant de (x1, y1) à (x2, y2) puis (x3, y3).
Le graphique donne la quantité optimale du bien X (pour un rapport de prix donné) correspondant à chaque niveau de revenu.
La demande du bien X est donc une fonction du revenu, et l’expression graphique de cette [marron]demande-revenu[/marron] est la [marron]courbe d’Engel[/marron] par référence aux travaux qu’Ernst Engel consacra au milieu du XIXe siècles au budget des familles.
La ligne en pointillés est appelée [marron]chemin d’expansion du revenu[/marron].
La courbe d’Engel est la représentation graphique de la fonction de demande par rapport au revenu

x = f(R, px*, py*)

Dans le cas présent les courbes d’indifférence donnent le résultat prévisible : quand le revenu augmente la quantité consommée des biens augmente car Les biens X et Y sont des [marron]biens normaux[/marron].

La demande d’un bien normal est une fonction croissante du revenu.

Pour étudier la plus ou moins grande sensibilité des quantités consommées aux variations du revenu et le sens de la variation (augmentation ou diminution) on mesure l’[marron]élasticité de la demande au revenu[/marron].

Le coefficient d’élasticité de la demande du bien X au revenu s’écrit :

ex/R = Taux de variation de la demande de X / Taux de variation du revenu

soit :

e_ x/R = \frac{\dfrac{\delta x}{x} }{\dfrac{\delta R}{R} } \quad \text{ou encore} \quad e_ x/R = \frac{\dfrac{\delta x}{\delta R} }{\dfrac{x}{R} }

La seconde expression est la rapport de la propension marginale à consommer le bien X à la propension moyenne à consommer ce même bien.

Les coefficients d’élasticité revenu permettent de construire une typologie des biens :

Types de biens
de luxe
nécessaires
normaux
nécessaires
inférieurs
Coefficient d’élasticité
e > 1
1 > e > 0
e < 0

Les coefficients d’élasticité revenu expliquent les observations faites en 1857 par Ernst Engel généralement vérifiées depuis ce qui conduit à parler des [marron]lois d’Engel[/marron] : Les [marron]lois d’Engel[/marron] énoncent comment se modifie la structure de la consommation lorsque le revenu d’un ménage augmente :
- [rouge]première loi[/rouge] : la part du revenu affectée aux dépenses d’alimentation est d’autant plus faible que le revenu est élevé
- [rouge]deuxième loi[/rouge] : la part affectée aux dépenses de vêtements, logement, chauffage et éclairage est sensiblement identique, quel que soit l’importance du revenu
- [rouge]troisième loi[/rouge] : la part affectée aux besoins d’éducation, santé, voyage, augmente plus vite que le revenu.

Demande d’un bien et prix du bien demandé

Le panier choisi par le consommateur dépend des prix des produits. Que ce passe-t-il lorsque le prix d’un bien augmente ?
Sur ce graphique le revenu R et le prix du bien X ne changent pas, en revanche le prix du bien Y augmente passant de py1 à py2 puis py3 avec py1 < py2 < py3.
L’augmentation du prix du bien Y réduit le pouvoir d’achat du revenu disponible : on parle d’[marron]effet revenu[/marron] et cet effet affecte la consommation des deux biens X comme Y. Mais cette augmentation du prix du bien Y rend plus attractif la consommation du bien X puisque son prix relatif (par rapport à celui du bien Y) diminue ce qui doit inciter le consommateur à substituer du bien X au bien Y, et à se détourner du bien Y : on parle d’[marron]effet de substitution[/marron].
L’effet de substitution entraîne toujours une variation de la demande en sens inverse de celle du prix (baisse de la demande quand le prix augmente et inversement).
Pour un bien normal, l’effet de revenu modifie la demande du bien en sens inverse de la variation du prix de ce bien. En revanche pour un bien inférieur la variation du prix entraîne une variation de la demande dans le même sens (une diminution du prix entraîne une diminution de la quantité demandée puisqu’elle provoque une augmentation du pouvoir d’achat autorisant le consommateur à renoncer au bien inférieur)
Sur le graphique représenté ici l’effet revenu et l’effet de substitution sont de même sens et se cumulent. Les deux biens sont des biens normaux. puisque la consommation des deux biens diminue à la suite de l’augmentation du prix du bien Y.

La demande d’un bien normal est fonction décroissante du prix de ce bien.

La courbe en pointillés joignant les différents combinaisons optimale est le [marron]chemin d’expansion du prix[/marron] du bien Y.
La fonction y = f(py, px*, R*) est la [marron]fonction de demande[/marron] du bien Y relativement à soon prix.
La fonction py= g(y, px*, R*) est la [marron]fonction de demande inverse[/marron].

[fond jaune] Fonction "marshallienne" et "hicksienne" de demande par rapport aux prix [/fond jaune]

La fonction de [marron]demande marshallienne[/marron] est représentée sur la partie droite du graphique ci-dessus. Sur la partie gauche le consommateur prend en compte l’augmentation du prix de X : puisque son revenu est constant et que le prix de Y ne change pas, la contrainte budgétaire pivote vers le bas (le pouvoir d’achat du revenu se réduit) il ajuste sa satisfaction au nouveau domaine des consommations financièrement réalisables. Chaque changement de prix de X donne une nouvelle réponse : prix px ↔ quantité consommée x.

La fonction de [marron]demande hicksienne[/marron] est représentée sur la partie droite du graphique ci-dessus. Sur la partie gauche le consommateur prend en compte l’augmentation du prix de X : puisque sa satisfaction ne doit pas être modifiée et que le prix de Y ne change pas, la contrainte budgétaire se déplace en restant en contact avec la courbe d’indifférence. Le consommateur ajuste sa dépense de manière à conserver la même satisfaction. Chaque changement de prix de X donne une nouvelle réponse : prix px ↔ quantité consommée x.

De la même manière qu’il est possible de calculer une élasticité de la demande par rapport au revenu, on peut calculer l’élasticité de la demande par rapport aux prix.

Le coefficient d’élasticité de la demande du bien X par rapport au prix du bien X s’écrit :

ex/px = Taux de variation de la demande de X / Taux de variation du prix de X

soit :

e_ x/px = \frac{\dfrac{\delta x}{x} }{\dfrac{\delta px}{px} }

Normalement le coefficient d’élasticité prix d’un bien doit être négatif. La baisse du prix doit entraîner une augmentation de la demande. Ici on ne parle pas de [marron]bien normal[/marron] mais de [marron]bien typique[/marron].
Pour un bien typique l’élasticité (négative) peut être plus ou moins forte. On dit qu’un bien à une demande inélastique lorsque la variation du prix a peu d’effet sur la variation de la demande (le coefficient est proche de 0). C’est le cas des produits dont la consommation est relativement stable parce qu’elle correspond à un usage déterminé. C’est le cas des carburants ou des produits agricoles : l’augmentation du prix du pétrole a peu d’effet sur la consommation et il en va de même pour la baisse du prix du blé, du café ou du cacao. Pour ces produits agricoles Gregory King montra à la fin du XVIIe siècle comment une légère surproduction de blé entraînant une baisse du prix du blé pouvait ruiner les paysans (les recettes diminuent fortement) alors qu’une mauvaise récolte pouvait les enrichir en créant une forte augmentation du prix en raison de l’inélasticité de la demande.

Les biens atypique sont ceux dont la demande a une élasticité prix positive.
Pour certains biens de luxe il y a un effet de démonstration ou [marron]effet Veblen[/marron] du nom de l’économiste américain Thorstein Veblen. Il s’agit d’une forme de snobisme, d’un effet de distinction par la recherche de consommations symboliques (ostentatoires).
À l’inverse certains biens inférieurs sont atypiques, ce sont les [marron]biens Giffen[/marron]. Ces biens sont désignés ainsi par référence à l’économiste Robert Giffen qui au XIXe siècle a étudié cette question. Pour un "bien Giffen", la demande diminue quand le prix diminue. Par exemple si le prix des pommes de terre diminue pour un ménage ayant un revenu modeste et consommant principalement du pain et des pommes de terre, il est possible que le revenu économisé parce que le prix des pommes de terre a baissé soit reporté sur le pain. Il est même possible que la quantité consommée de pommes de terre diminue si le ménage veut augmenter sa consommation de pain. Ici l’effet revenu l’emporte sur l’effet substitution.

Pour mettre en évidence les deux effets on peut utiliser deux formes de décomposition : la décomposition de Eugen Slutsky et celle de John Richard Hicks.

[fond jaune]Décomposition de Slutsky[/fond jaune]
L’effet de substitution se manifeste de la manière suivante : le consommateur ne se rend pas compte que l’augmentation du prix du bien Y diminue son revenu réel mais il comprend que l’augmentation du prix du bien Y rend celui-ci moins intéressant. Le changement du rapport des prix modifie la pente de la droite de budget. Tout se passe comme si cette droite de budget pivotait autour du point E1 de coordonnées (x1, y1) décrivant l’équilibre initial. Cette rotation déplace l’équilibre qui devient le point [vert fonce]E’1[/vert fonce] de coordonnées [vert fonce](x’1, y’1)[/vert fonce]. Lorsque le consommateur réalise que l’augmentation du prix du bien Y entraîne une diminution de son revenu réel (de son pouvoir d’achat) il adopte une nouvelle combinaison pour son panier. L’équilibre final est au point [rouge]E2[/rouge] de coordonnées [rouge](x2, y2)[/rouge].

[fond jaune]Décomposition de Hicks[/fond jaune]
L’effet de substitution est mis en évidence cette fois en observant comment varie le choix de consommation après la variation du prix du bien Y en considérant que le niveau de satisfaction de la position initiale E1 de coordonnées (x1, y1) reste inchangé. La nouvelle combinaison [vert fonce]E’1[/vert fonce] de coordonnées [vert fonce](x’1, y’1)[/vert fonce] se trouve donc sur la même courbe d’indifférence. Une fois l’effet de substitution pris en compte, l’effet revenu se manifeste comme dans l’explication précédente et le consommateur modifie son panier en passant à [rouge]E2[/rouge] de coordonnées [rouge](x2, y2)[/rouge].

Demande d’un bien et prix des autres biens

Nous avons vu que la demande d’un bien normal augmente quand le revenu augmente et/ou quand le prix diminue. Mais, le choix de la composition du panier du consommateur dépend aussi des prix des autres biens.
Comment la demande d’un bien est-elle modifiée par un changement du prix d’un autre bien ?
Pour répondre à cette question dans le cadre des hypothèses précédentes [5] il faut introduire une forme particulière d’élasticité prix : [marron]l’élasticité-prix croisée[/marron] d’un bien relativement au prix d’un autre [6].

 L’élasticité prix croisée du bien X relativement au prix du bien Y est le rapport du taux de variation de la demande du bien X au taux de variation du prix du bien Y.

Si la quantité demandée du bien X diminue de 10% quand le prix du bien Y augmente de 5% le coefficient d’élasticité de X relativement au prix de Y est égal à 2.

e_ x/p_y = \frac{\dfrac{\delta x}{x} }{\dfrac{\delta p_y}{p_y} }

Le signe des coefficients d’élasticité croisée permet de retrouver la distinction entre [marron]biens substituables[/marron] et [marron]biens complémentaires[/marron].

Si le coefficient est positif cela signifie que la demande d’un bien X augmente si le prix du bien Y augmente. Le consommateur constatant la diminution du prix relatif de X par rapport à Y [7] reporte une partie de sa dépense du bien dont le prix augmente vers celui dont le prix ne change pas. Ce comportement est possible lorsque les deux biens sont substituables. Le consommateur peut remplacer l’un par l’autre, il s’agit donc de [marron]biens concurrents[/marron].

Inversement si le coefficient est négatif le consommateur réduit sa consommation du bien X quand le prix du bien Y augmente. C’est le cas si les quantités consommées des deux biens sont proportionnelles. Consommer davantage du bien X implique de consommer aussi davantage de bien Y. L’augmentation du prix du bien Y entraînant une diminution de la demande de ce bien, la demande du bien X diminue aussi. Les biens ne peuvent être consommés l’un sans l’autre, ce sont des [marron]biens complémentaires[/marron].

Fonction d’utilité indirecte et fonction de dépense

Le programme suivi par le consommateur a été présenté en début d’article de la manière suivante :
Max U(x,y)
Sous R = pxx + pyy

Ce programme permet d’obtenir les fonctions de demande marshallienne
x = x(px, py, R)

Partant de ce résultat on peut réécrire la fonction d’utilité U(x,y) = U(x(px, py, R), y(px, py, R)) = V(px, py, R)

On appelle [marron]fonction d’utilité indirecte[/marron] la fonction
V(px, py, R)

Cette fonction indique le niveau maximum d’utilité que le consommateur peut atteindre étant donnés les prix des biens et son revenu. On peut aussi dire que la fonction d’utilité indirecte est
V(px, py, R)
sous la contrainte R = pxx + pyy [8].

Dans les hypothèses habituelles (biens normaux et axiomatique des préférences respectée...) cette fonction est non croissante avec les prix (quand px ou py augmente l’utilité indirecte n’augmente pas), et elle est croissante avec le revenu (une augmentation du reveu entraîne une augmentation de l’utilité indirecte).

Graphiquement les courbes d’utilité indirectes peuvent être représentées par des courbes d’indifférence en prix. Une courbe d’indifférence de ce type représente l’ensemble des prix procurant un même niveau d’utilité indirecte.

Le graphique de gauche est construit avec le revenu constant ; il indique le niveau d’utilité indirecte atteint, pour un niveau de revenu donné, en fonction du prix des biens. Le graphique de droite avec les prix des deux biens constants ; il indique l’utilité atteinte, pour des prix données, en fonction du niveau de revenu.

Ce second graphique peut également se lire de façon comme indiquant le niveau de revenu nécessaire pour atteindre un niveau d’utilité indirecte donné, étant donné le prix des biens. La fonction qui relie ainsi le revenu et l’utilité indirecte, c’est-à-dire l’inverse de la fonction d’utilité indirecte, s’appelle la [marron]fonction de dépense[/marron].

La fonction de dépense est notée
E(px, py, U).

On obtient la fonction de dépense avec les solutions du programme suivant :
E(px, py, U) = min [ (pxx) + (pxx) ]
sous U(x,y) ≥ U

La [marron]fonction de dépenses[/marron] indique le coût minimum (la dépense en biens X et Y) permettant d’atteindre un certain niveau d’utilité . Cette fonction est strictement non décroissante avec les prix (comme la fonction d’utilité inverse) [9], mais si le prix du seul bien X augmente, celui du bien Y restant inchangé, la dépense augmente mais à un taux décroissant car le consommateur va substituer du bien Y au bien X.

La résolution du programme de minimisation de la dépense ci-dessus permet de définir des fonctions de demande qui sont fonction des prix et de l’utilité. Nous avons déjà rencontrées ces fonctions de demande sous le nom de [marron]fonctions de demande Hicksiennes[/marron] ou [marron]fonctions de demande compensée[/marron].

Ces fonctions de demande hicksiennes ne sont bien entendues pas directement observable puisqu’elles dépendent de l’utilité. Seules les fonctions de demande exprimée en fonction des prix et du revenu sont observables, ce sont les fonctions de demande ordinaires, les [marron]fonctions de demande Marshalliennes[/marron] telles que
x = x(px, py, R).

L’introduction des différents concepts présentés ci-dessus se justifie par leur utilisation pratique. L’étude du comportement du consommateur à partir des outils de l’analyse microéconomique est au cœur du travail des statisticiens qui observent et mesurent les structures de consommation, le budget et le niveau de vie des ménages.

Tous ces concepts sont liés logiquement parce qu’ils sont construits sur les mêmes hypothèses.

La [marron]demande marshallienne[/marron] est obtenue en maximisant l’utilité sous contrainte budgétaire.
En insérant cette demande dans la fonction d’utilité nous obtenons l’[marron]utilité indirecte[/marron].
La [marron]demande hicksienne[/marron] ou [marron]demande compensée[/marron] est donnée par la résolution du programme dual qui consiste à minimiser la dépense sous contrainte de satisfaction.
Insérer cette demande dans les dépenses permet d’écrire la [marron]fonction de dépense[/marron].
Cette [marron]fonction de dépense[/marron] est d’ailleurs l’inverse de l’[marron]utilité indirecte[/marron].

Notes

[1] Le comportement du consommateur placé dans une situation d’information imparfaite, nécessite l’introduction d’autres concepts, ceux d’utilité espérée et de choix intertemporels. Les développements de cette analyse seront traités dans un autre article.

[2] La solution du problème posé au consommateur dans les termes précédents est une application d’une règle d’application générale dans tous les problèmes de choix rationnels : l’arbitrage entre deux décisions entrainant chacune un bénéfice et un coût est le meilleur possible quand le rapport des bénéfices tirés de l’utilisation d’une unité supplémentaire est égal au rapport des coûts associés à l’utilisation d’une unité supplémentaire. Le raisonnement est toujours conduit "à la marge" parce qu’il s’agit de quitter une situation donnée par une série d’amélioration successive.

[3] Cette condition peut être levée en utilisant d’autres outils mathématiques, la méthode de Kuhn et Tucker. Ceux qui souhaitent des développements mathématiques peuvent consulter ce Vade mecum : Optimisation statique - Lagrangien et conditions de Kuhn et Tucker mis en ligne par Julien Grenet pour les TD de l’École Normale Supérieure - Année 2007-2008

[4] Une démonstration dans La demande : analyse microéconomique appliquée, mis en ligne par Christian Biales.

[5] Homogénéité des biens, respect des conditions de l’axiomatique des préférences et en particulier rationalité du consommateur, prix et revenu exogènes.

[6] On dit élasticité "croisée" pour bien montrer que la variation de la demande du bien est rapportées à la variation du prix d’un "autre bien"

[7] Le bien Y coûte relativement plus cher qu’avant, il est donc moins intéressant et le bien X devient de ce fait plus attractif. Le consommateur se détourne du bien dont le prix augmente et se tourne vers le bien dont le prix n’a pas changé.

[8] On a l’égalité px = R car à l’optimum, les demandes sont telles que le revenu est entièrement dépensé (sous l’hypothèse de non-satiété)

[9] Par ailleurs, puisque le revenu est constant, si les prix sont multipliés par un facteur λ la dépense est multipliée par ce même facteur ce qui signifie que la fonction de dépenses est homogène de degré 1.

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