Un peu d’économie

5. Le duopole

samedi 14 février 2009, par Simonnet Jean-Paul

Cet article doit beaucoup à Bernard Guerrien “La concurrence imparfaite” n°254 des Cahiers français pages 32 à 41.  [1]

Lorsqu’il n’y a que deux entreprises qui offrent un bien et qui tiennent compte de cette situation au moment d’établir leurs plans, on dit qu’elles forment un duopole (un oligopole si elles sont plus que deux). Ainsi, les deux entreprises qui constituent un duopole doivent faire face à un double problème, évaluer la demande du bien qu’elles produisent et anticiper le comportement de leur concurrent.

L’équilibre de Cournot

Afin d’établir leur plan optimal, les entreprises en duopole doivent donc anticiper le comportement de leur concurrent, c’est-à-dire faire des conjectures à son propos. Relevant de la psychologie et de l’expérience des individus, la notion de conjecture est difficile à cerner et, plus encore, à mettre sous forme mathématique. Comme cela est souvent le cas face à une situation de ce type, la solution adoptée est la plus simple possible, solution qui ici prend la forme des conjectures “à la Cournot” [2] : chacune des entreprises composant le duopole considère l’offre de l’autre comme une donnée, un paramètre indépendant de ses propres actions. Ainsi, à chaque quantité ql offerte par l’entreprise 1 correspond une offre q*2 de l’entreprise 2, qui maximise son profit au prix p = f(q1 + q*2), en supposant que ce prix est unique et qu’il égalise l’offre et la demande du bien (cette fonction est appelée fonction de demande inverse ; on suppose généralement qu’elle est strictement décroissante).

Sous ces hypothèses, à chaque offre de 1 correspond une offre de 2.

La relation obtenue, qui est une fonction de réaction, peut être représentée par une courbe, dite courbe de réaction de l’entreprise 2. On définit de la même façon les fonctions et courbes de réaction de l’entreprise 1.

Le graphique ci-contre donne un exemple de courbes de réaction d’un duopole. Il y a équilibre, si et seulement si les deux entreprises maximisent simultanément leur profit, compte tenu du comportement de leur concurrent.
Tel n’est pas le cas, par exemple, pour le couple M = (ql,q*2), puisque si l’entreprise 2 offre q*2, l’entreprise 1 a intérêt à offrir q’1 plutôt que ql (par définition même de sa fonction de réaction), et elle est donc incitée à quitter le point M.
De même en ce qui concerne le point N, où c’est l’entreprise 2 qui a intérêt à modifier son offre. Ainsi, il ne peut y avoir équilibre qu’aux points où les graphes des fonctions de réaction se coupent, puisque alors les deux entreprises maximisent leur profit, compte tenu de l’offre de leur concurrent.
Dans le cas du graphique, un équilibre existe et est unique ; il est donné par le point C. Un tel équilibre, défini pour des conjectures à la Cournot, est dit équilibre de Cournot.
Si on reprend la terminologie de la théorie des jeux, c’est un concept de solution non coopérative, relevant de la catégorie des équilibres de Nash (d’ailleurs, on l’appelle parfois équilibre de Cournot-Nash). En effet, en C ni l’une ni l’autre des entreprises n’a intérêt à changer unilatéralement son offre, car cela se traduirait par une baisse de son profit.

Si l’équilibre de Cournot constitue une solution simple et élégante au problème du duopole, un certain nombre de problèmes se posent quant à sa viabilité, en raison de son caractère non optimal (au sens de Pareto), du type de conjecture retenu et du processus qui devrait y conduire.

Un équilibre de Cournot n’est généralement pas un optimum de Pareto

On le prouve en considérant l’équilibre de Cournot comme une allocation initiale d’un modèle de Arrow-Debreu, allocation à laquelle un équilibre concurrentiel est supérieur selon le critère de Pareto, si elle n’est pas elle-même un équilibre concurrentiel (deuxième théorème de l’économie du bien-être).
Mais le problème de l’optimalité, ou de l’efficience, se pose aussi en équilibre partiel.
En effet, l’équilibre de Cournot n’est pas optimal du point de vue des entreprises dans la mesure où il existe des allocations, c’est-à-dire des niveaux de production, permettant aux deux « duopoleurs » d’augmenter leur profit. Car, comme on a supposé que la fonction de demande était strictement décroissante (ce qui entraîne la décroissance des fonctions de réaction), notamment au prix d’équilibre, si l’une des entreprises baisse légèrement son offre, l’autre voit son profit augmenter puisque le prix du bien augmente (la quantité totale offerte diminuant).
Ainsi, si toutes deux diminuent légèrement leurs offres, la hausse du prix est plus forte que si une seule d’entre elles l’avait fait ; autrement dit, leur recette augmente et le nouvel état est préférable pour toutes deux. Les consommateurs font d’ailleurs les frais de l’opération puisqu’ils consomment moins à un prix plus élevé.
Le raisonnement précédent suppose un changement d’attitude de la part des entreprises, les variations d’offre envisagées étant simultanées (et non plus unilatérales), changement qui correspond au passage d’un comportement non-coopératif à un comportement coopératif. À la limite, la somme de leurs profits est maximale lorsqu’il y a coopération totale, c’est-à-dire lorsque les deux entreprises se comportent comme un monopole ayant deux unités de production et dont l’offre est ql + q2 (aucun autre niveau de production ne peut donner une somme de profits supérieure, sinon le monopole l’aurait choisi). Mais qui dit coopération dit aussi partage des fruits de la coopération. Or, il n’existe pas de règle faisant l’unanimité en ce qui concerne un tel partage, chacun cherchant à obtenir le maximum possible.
En outre, toute solution qui n’est pas un équilibre de Cournot pose problème, dans la mesure où au moins l’une des entreprises peut augmenter son profit par un changement unilatéral de son offre (car sinon, on serait, par définition, à un équilibre de Cournot).

En résumé, à l’équilibre de Cournot, les entreprises ont intérêt à coopérer, et donc à retenir une autre solution que cet équilibre ; mais une telle solution, quelle qu’elle soit, n’en est pas vraiment une, si elle n’est pas un équilibre de Cournot, puisque les agents maximisateurs ont intérêt à s’en écarter.

On est donc en présence d’un dilemme typique des situations de concurrence imparfaite (dilemme du prisonnier) où interviennent des comportements stratégiques, et cela bien que le cas traité soit le plus simple possible (conjectures rudimentaires, deux agents). (...)

Comme cela est toujours le cas lorsqu’on vient d’étudier un équilibre, il convient de s’interroger sur sa stabilité, c’est-à-dire sur la façon d’y parvenir. Ainsi, dans le cas du graphique précédent, si l’entreprise 1 commence avec une offre (arbitraire) ql, l’entreprise 2 réagit en proposant q*2, ce qui conduit 1 à offrir q’1 l’entreprise 2 proposant alors q’2, et ainsi de suite ; « on voit que » le processus converge (il est stable), sa limite étant l’équilibre de Cournot C.

Toutefois, ce résultat dépend de la place relative des courbes de réaction.

Si on permute ces deux courbes - ce qui est possible, puisque la seule condition qu’on leur impose est d’être décroissantes -, alors le processus est instable, les quantités offertes s’éloignant de plus en plus de l’équilibre C. Il est évident que dans le cas où il y a instabilité, l’équilibre de Cournot perd son intérêt. En fait, dès qu’il y a processus, il devient difficile de retenir les conjectures à la Cournot en tant que manifestation d’un comportement rationnel. Chacune des entreprises peut rapidement constater que l’autre réagit à ses offres et doit donc chercher à en tirer parti.

Le duopole de Stackelberg

Un cas limite est celui du duopole de Stackelberg [3], où l’une des entreprises (le “meneur”) connaît la fonction de réaction de l’autre, qui persiste dans un comportement à la Cournot (le “suiveur”).
Le meneur va intégrer cette information dans ses plans et faire une offre qui maximise son profit, tout en sachant quelle sera l’offre de l’autre. Si 1 est le meneur, il peut toujours proposer la solution de Cournot, mais, en règle générale, il existe d’autres offres possibles, qui lui rapportent un profit supérieur.
Ainsi, un équilibre de Stackelberg est constitué des offres (qs1,qs2) telles que qs2 = f2(qs1), qs1 étant celui des q1 vérifiant ql = f1(f2(ql)) qui maximise le profit de l’entreprise 1 (l’équilibre de Cournot devant vérifier ql = f1(f2(ql)) et q2 = f2(f1(q2)).
Il n’y a pas de processus d’ajustement associé à l’équilibre de Stackelberg, le meneur pouvant déterminer cet équilibre directement par le calcul, puisqu’il dispose de l’information nécessaire pour le faire.
Comme celui de Cournot, l’équilibre de Stackelberg est un équilibre de Nash puisque les deux entreprises maximisent leur profit en considérant l’offre de l’autre comme donnée, tout en ayant des conjectures différentes.

Le grand problème avec la solution de Stackelberg est son caractère asymétrique et donc l’irrationalité du comportement du suiveur, qui ne tire aucune leçon de ses expériences et qui est même “perdant” par rapport à l’équilibre de Cournot. Comme cette asymétrie n’est nullement justifiée, on pourrait envisager le cas où les deux duopoleurs sont des meneurs qui considèrent l’autre comme un suiveur (2 faisant l’offre vérifiant q2 = f2(fl(q2)) qui maximise son profit). Mais il n’y a alors aucune raison pour que leurs offres soient égales à la demande et donc qu’il y ait équilibre.

Les conjectures rationnelles

Parfois, on envisage le cas de conjectures rationnelles ; chaque entreprise connaît les réactions de l’autre, qui sait qu’elle les connaît, etc. et établit ses plans en conséquence. Sous certaines conditions, un tel duopole peut comporter des équilibres. Mais il suppose un niveau de connaissance tellement élevé de la part des duopoleurs que l’on peut légitimement s’interroger sur son intérêt, autre que mathématique.

Duopole de Cournot en équilibre général

Le traitement envisagé plus haut du duopole de Cournot, n’a pas posé le problème de l’existence d’équilibres. Pourtant, même en équilibre partiel, celle-ci n’est pas assurée si les courbes de réaction ne se coupent pas, soit parce qu’elles sont discontinues, soit si l’une se trouve complètement en-dessous de l’autre.
Pour éviter ce type de situation, il faut donc imposer des conditions relativement importantes à la fonction de demande (outre sa décroissance).

Il en est de même en équilibre général, où l’on retrouve pour chacune des entreprises le problème qui se posait pour le monopole (le fait que la production de l’autre soit donnée ne modifiant évidemment pas ce problème).

Jusqu’à présent, on a considéré que les entreprises faisaient porter leur choix sur les quantités offertes, les prix étant supposés “suivre”, de façon à égaliser en permanence l’offre et la demande pourtant en règle générale, les entreprises commencent par afficher des prix.

En fait, si l’approche à la Cournot est quasiment hégémonique, c’est parce que la formalisation du processus où les entreprises proposent des prix pose de redoutables problèmes, dont les deux plus importants peuvent être formulés de la façon suivante

  • si les prix proposés diffèrent, ce qui est généralement le cas en dehors de l’équilibre, alors tout écart entre eux, aussi petit soit-il, engendre des variations importantes dans la demande s’adressant à chacun des producteurs. Celle-ci peut passer de tout à rien, d’où l’apparition de discontinuités d’un maniement délicat et mettant en danger l’existence même d’équilibres (on songe à des processus du type “guerre des prix”, pouvant entraîner la disparition d’un des concurrents) ;
  • dans la mesure où les prix proposés ne sont pas, dès le départ, des prix égalisant l’offre et la demande, il faut faire intervenir des règles de rationnement, imposées a priori aux individus.

L’approche à la Bertrand

On dit souvent à la suite de Joseph Bertrand [4] , que l’équilibre-type de ce modèle serait l’équilibre concurrentiel ; mais cela n’est vrai que dans le cas très particulier où les deux entreprises ont un coût marginal constant, le même pour toutes deux, et des capacités de production illimitées (ou, du moins, pouvant servir toute la demande du bien).
En effet, dans ce cas, aucune des entreprises n’a intérêt à augmenter son prix par rapport à l’autre car cela entraînerait la perte de toute sa clientèle. Le prix d’équilibre doit aussi être égal au coût marginal car s’il lui était strictement supérieur, alors chaque entreprise serait incitée à baisser (très légèrement) son prix pour capter la clientèle de l’autre, et il n’y aurait donc pas équilibre.

Mais, en dehors de ce cas très particulier, l’équilibre concurrentiel n’est pas une solution du modèle où les entreprises fixent les prix, tout au moins si on retient les hypothèses habituelles (par exemple le coût marginal croissant). En effet, si cet état se réalisait, alors chaque entreprise serait incitée à s’en écarter par une action unilatérale ; considérant le prix et la quantité offerte par l’autre comme une donnée, elle aurait intérêt à agir comme un monopole avec la demande “restante”, qui s’adresse à elle, en augmentant son prix jusqu’à ce que sa recette marginale soit égale au coût marginal. Comme les deux entreprises sont incitées à agir dans le même sens, il y aurait un mouvement à la hausse des prix, qui serait toutefois limité par la perte de clientèle qu’il entraînerait.
Mais comment formaliser un tel processus hors équilibre, où interviennent donc nécessairement des rationnements, et par conséquent des comportements spéculatifs ?
Quelle forme va-t-on donner à la politique de prix des entreprises, qui devrait théoriquement se rajouter aux autres paramètres de base du modèle, préférences, dotations et technologie ?
Ces questions, et le fait qu’il soit extrêmement difficile - si ce n’est impossible - de trouver une réponse, expliquent pourquoi l’approche à la Cournot, avec son commissaire-priseur qui règle discrètement la danse, occupe une place hégémonique dans les présentations du duopole, même si cette approche ne semble pas a priori être la plus intéressante. »

Notes

[1] Pour une présentation plus générale voir J. Gabszewicz “La concurrence imparfaite” Repères n°146, La découverte, 1994. Pour aller au-delà, voir les manuels de microéconomie approfondie en particulier Andrew Schotter “Microéconomie, une approche contemporaine” Vuibert 1996 et Edwin Mansfield “Économie appliquée à la gestion” Economica 1996.

[2] 1838 “Recherches sur les principes mathématiques de la théorie de la richesse”

[3] Sa critique du modèle de Cournot date de 1935.

[4] Joseph Bertrand, mathématicien français, publie une critique du modèle de Cournot dans le “Journal des savants” en 1883.

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